República
Bolivariana de Venezuela
Ministerio
del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto
Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión
San Felipe
|
Sistemas de Controles Industriales
Función de transferencia y
Respuesta en Frecuencia
|
Integrantes:
Federico
Landinez CI 21.046.976
Anderson
Veliz CI 24.633.485
Leonardo
Rojas CI 22.272.352
Luis Gallardo CI22.960.673
Luis Gallardo CI22.960.673
Esc 70
Prof. Marienny Arrieche
Que
es Una función transferencia
Trabajar en el
dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de
ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto
de función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y
genera una salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace
tendremos una entrada U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona
salida con entrada se denomina función de transferencia g(s)
De modo que Y(s)
= g(s)×U(s) . Sistemas de primer orden Se denominan sistemas de primer orden a
aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada
primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen
al formato siguiente:
donde k se
denomina ganancia del proceso y t es la constante de tiempo del sistema.
En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las
variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto
en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace
Diagrama de Bode
Diagrama de fase de Bode representa la fase de la función
de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala
logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el
desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la
entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal A sin(ω t
) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un
factor x y desplaza en fase −Φ. En este
caso, la salida del sistema será ( A/ x)
sin(ωt − Φ).Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f));
esta dependencia eslo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase
deberá estar acotada entre-90° y 90°.La respuesta en amplitud y en fase de los
diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente:
cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de
fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son
causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la
transformada de Hilbert.Si la función de transferencia es una función racional,
entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos.
Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano
siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir
incluso sin dibujar la gráfica).
Respuesta frecuencia del sistema de 1er y 2do orden
Diagrama de bode se conoce como respuesta frecuencia de un
sistema a la respuesta del mismo, en régimen permanente, Cuando se utiliza como
señal de entrada una senoide. La respuesta de un sistema lineal estable a una
señal de excitación de tipo senoidal, es otra señal senoidal de la misma
frecuencia que la de entrada, pero que difiere de ella en los valores de su
amplitud y de su Ángulo de fase. La amplitud de la señal de salida y su ángulo
de fase son función de la frecuencia. · La señal senoidal que aplicaremos a
nuestro sistema vendrá dada por:
r(t)= A* sen( wt) (1)siendo Ala amplitud y w(rad/s)la
pulsación de la señal. La señal de salida es también senoidal en la medida en
que el sistema es lineal. La representamos por:
y(t)= B* sen( wt+Φ )
(2)siendo Bla amplitud yf el desfase en radianes.· La representación gráfica de
la respuesta en frecuencia se denomina diagrama de Bode.
La función de transferencia senoidal G(jw ) es una función
compleja que puede ser representada por sus Curvas de módulo (ganancia) y de
argumento (ángulo de fase).
Diagrama de Bode de un filtro paso bajo Butterworth de primer orden (con un
polo)
Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para
caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de
dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y
otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo
desarrolló, Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en
electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y
amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de
transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la
frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de
señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante
en el tiempo.
El diagrama de fase de Bode representa la
fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia
angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite
evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto
a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal
Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un
factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x)
sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f));
esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta
fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.
La respuesta en amplitud y en fase de los
diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente:
cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de
fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son
causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la
transformada de Hilbert.
Si la función de transferencia es una
función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos
rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden
dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se
pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).
Esta aproximación se puede hacer más
precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte
Elaboración del diagrama de Bode (módulo) con Excel
A continuación indicaremos los pasos
que hay que seguir para realizar un diagrama de Bode en módulo empleando el
programa Excel (o cualquier Hoja de cálculo similar).1. Introducir los datos
medidos en el laboratorio.
Calcular en una nueva columna H(w) en dB.3.
Abrir el asistente
de gráficos y seleccionar en “Tipo de Gráfico” la opción XY
(Dispersión), puesto que otros tipos de gráficos no
permiten escalas logarítmicas. Además, como “Subtipo de Gráfico” seleccionar
uno en el que aparezca un símbolo para los puntos, como el elegido en la figura
inferior.4. Presionar Aceptar.
5. Hacer doble clic sobre el eje X para cambiar de escala
lineal a escala logarítmica. Aparecerá una ventana como la mostrada en la
figura inferior, en la que se selecciona la casilla correspondiente a “Escala
logarítmica”.
6. Luego la gráfica quedara en escala logarítmica.
Procedimiento para construir un diagrama de Bode
aproximado.
Escriba H(jw) como producto de factores canónicos .Factores
canónicos:
K Ganancia Bode a frecuencia cero.
(1+jw/wo)q Factor simple
(jw)q Factor cero
[1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2]q Factor cuadrático
e- jwτ τ>0 Factor
retardo
Donde q Є { -1,1}, 0
≤ ξ ≤ 1
Seleccionar rango de
frecuencia de los gráficos
Dibujar los diagramas
Diagrama de Magnitud
Anotar
para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de ellas
entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla.
•
Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de
magnitud.
(Pendiente = [20dB / década]).
•
Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|). Esta operación es
equivalente a renumerar el eje de ordenadas.
Diagrama
de Fase
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus
asíntotas y la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar
el diagrama
de
fase.(Pendiente = 45[o / década]).
• Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [ °] cuando existe el factor
(jw)q . Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas.
• Si K<0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180
[°]
Verificación
• Verifique que su resultado satisface las aproximaciones
asintóticas, tanto enmagnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (w → 0)
y para frecuenciasmuy altas (w → ∞).
Interpretación y ejemplo
Los diagramas de bode son una herramienta muy
utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para
el diseño y análisis de filtros y amplificadores. Se suele emplear en procesado
de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e
invariante en el tiempo. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar
el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la
entrada para una frecuencia determinada.
Análisis de sistemas lineales.
Diagramas de Bode
También se la conoce como
análisis de frecuencia. Se basa en que cuando se introduce una señal sinusoidal
en un sistema lineal se obtiene, tras un periodo transitorio, una respuesta
sinusoidal de la misma frecuencia pero de amplitud diferente y desfasada. El
análisis armónico estudia el desfase y la razón de amplitudes entre la entrada
y la salida. Para un sistema de control por retroalimentación la razón de
amplitudes (RA) nunca debe ser mayor de 1 ya que entonces se amplificaría la
señal y el sistema se volvería inestable al retroalimentar la salida. El
estudio del desfase es importnte ya que de cierta manera se puede considerar
que da los mismos problemas que un retraso.
Para
un sistema de primer orden con una entrada sinusoidal la razón de amplitudes
será:
Hay que sustituir s por iω,
ya que se trata de un número complejo, para poder expresar la función de
transferencia como un número complejo del tipo x + i y:
Para eliminar separar la
parte real de la compleja —eliminar el número complejo i del denominado ha sido
necesario multiplicar y dividir por el conjugado del denominador. Cualquier
número complejo W puede ser expresado, además de la manera habitual x + i y,
como un módulo r y un argumento ϕ:
Por tanto, la función de
transferencia se puede expresar en función de r y ϕ como:
Donde Kp 1 + ω2 τp 2 ! es la razón de
amplitudes y ϕ es el desfase. De esta manera se logra obtener el desfase y la
razón de amplitudes sin tener que obtener la respuesta en tiempo real para una
entrada sinusoidal de amplitud M y frecuencia angular ω.
